eigen vector & eigenvalue

1. 고유값(eigen value)와 고유벡터(eigen vector)이 무엇이고 왜 중요한지 설명해주세요.

• nxn 행렬 A를 선형 변환으로 봤을 때, A에 의한 변환 결과가 자기 자신의 상수 배가 되는 0벡터가 아닌 벡터를 eigenvector라 하고 이 상수배 값을 eigenvalue라 한다.

 

선형 변환(Linear Transformation) : 선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수

T(a+b) = T(a) + T(b), T(ca) = cT(a)를 만족하는 변환.

• 즉, 아래와 같은 식을 만족하는 열벡터 v를 eigenvector, 상수람다를 eigenvalue라 한다.

$$ Av = \lambda v $$

• 이때, eigen vector, eigen value는 행렬의 가장 중요한 정보를 포함하고 있다, 임의의 벡터를 어느 방향으로 변화시켰는지, 변환 과정에서 어떤 부분이 손실이 나는지를 알 수 있다.
• 어떤 물체나 영상 등은 수많은 벡터의 뭉치라고 얘기할 수 있는데 eigen vector, value를 통해 물체나 영상이 어떤 식으로 변화되는 등의 정보를 파악할 수 있게 도와준다
• 이와 관련해서 데이터의 특징을 파악할 수 있게 도와주는 SVD(singural value Decomposition), PCA(Principal component analysis) 가 존재!